La paradoja del cumpleaños en Euromillones: ¿cuántos años habría que esperar para ver repetida una combinación?
Con casi 2.000 sorteos y 139.838.160 combinaciones posibles, ¿cuánto falta para ver repetida una combinación de Euromillones? Lo calculamos.
Hay una pregunta que se hace casi todo el mundo que sigue los resultados: ¿ha salido alguna vez dos veces la misma combinación en Euromillones? La intuición dice que con 139.838.160 combinaciones posibles debería ser casi imposible. Las matemáticas dicen algo más matizado, y se explican con un clásico: la paradoja del cumpleaños.
Qué dice la paradoja del cumpleaños
Si reúnes a 23 personas en una sala, la probabilidad de que al menos dos cumplan años el mismo día es de algo más del 50%. Parece poco intuitivo porque solemos pensar en la probabilidad de que alguien coincida con nosotros, cuando lo que importa es el número de parejas posibles: con 23 personas hay 253 parejas, y cada una tiene una pequeña oportunidad de coincidir.
Con los sorteos pasa lo mismo. Lo que cuenta no es cuántos sorteos hay, sino cuántas parejas de sorteos se pueden formar entre ellos.
Las cifras de Euromillones
La combinación completa de Euromillones tiene siete números: cinco principales (de 50) y dos estrellas (de 12). Eso da 2.118.760 combinaciones de números principales por 66 de estrellas: 139.838.160 combinaciones posibles.
Desde el primer sorteo, el 13 de febrero de 2004, se han celebrado unos 1.990 sorteos. Con esa cantidad se pueden formar casi 2 millones de parejas de sorteos. Cada pareja tiene una probabilidad entre 139.838.160 de ser idéntica, así que el cálculo da:
- Parejas de sorteos: unas 1.975.000.
- Repeticiones esperadas: alrededor de 0,014.
- Probabilidad de que ya haya ocurrido al menos una: aproximadamente un 1,4%.
En los históricos públicos que hemos consultado no consta ninguna repetición de la combinación completa de siete números. Es exactamente lo que cabía esperar.
¿Cuánto habría que esperar?
El número de sorteos necesarios para llegar al 50% de probabilidad de al menos una repetición es, aproximadamente, 1,18 veces la raíz cuadrada del total de combinaciones. Aquí, unos 13.900 sorteos. Con dos sorteos por semana (104 al año), son unos 134 años.
| Sorteos celebrados | Probabilidad de al menos una repetición | Años de sorteos (a 104 al año) |
|---|---|---|
| 2.000 | 1,4% | 19 |
| 5.000 | 8,6% | 48 |
| 10.000 | 30% | 96 |
| 14.000 | 50% | 135 |
| 20.000 | 76% | 192 |
Es decir, no es imposible. Es, simplemente, cuestión de tiempo, y de bastante tiempo.
El caso curioso de los cinco números principales
Si dejamos fuera las estrellas, las combinaciones posibles son solo 2.118.760. Con unos 1.990 sorteos, la cuenta cambia por completo: se esperarían alrededor de 0,93 repeticiones, es decir, aproximadamente un 60% de probabilidad de que ya haya ocurrido al menos una.
Y, según los históricos públicos, así es: los cinco números 4, 30, 31, 38 y 42 han salido como combinación principal dos veces. La repetición afectó a los cinco números principales; no consta que se repitiera también la combinación completa de siete números. Las matemáticas esperaban más o menos una repetición, y hay una.
Qué NO significa esto
La paradoja del cumpleaños no esconde ningún patrón ni ninguna estrategia. Una combinación que ya salió tiene exactamente la misma probabilidad de volver a salir que cualquier otra, porque el sorteo no tiene memoria. Y una combinación que no ha salido nunca no está «pendiente».
Lo único que la paradoja explica es por qué algo que parece muy raro en un solo sorteo puede dejar de serlo cuando se acumulan muchos sorteos.
En resumen
Con casi 2.000 sorteos y 139,8 millones de combinaciones, es normal que la combinación completa de Euromillones no se haya repetido todavía: la probabilidad de que hubiera ocurrido era de apenas un 1,4%. Para que llegara al 50% harían falta unos 13.900 sorteos, más de 130 años. Con los cinco números principales sin estrellas, en cambio, el cálculo esperaba una repetición, y hay una.